O FANTÁSTICO DESAFIO DO PROFESSOR ARANHA

ADENDO À VERSÃO 1

(12/03/2025)

Este adendo não altera o essencial da primeira versão do meu texto (justamente por isso é um adendo, e não uma nova versão):

- A solução para o problema original é uma só: 3.

- Para que o problema original seja válido, B não pode ter recebido um número maior que 5.

- Para a alternativa ao problema original criada em grupo, durante o debate ("Mantém-se a íntegra do enunciado do original, mas elimina-se a presença das alternativas para a resposta"), também só há solução se B está limitado a 1, 2, 3, 4 ou 5.

No entanto, encontrei um erro menor nos resultados (mas não no mérito) que apresentei para a variante maximalista (B pode ter infinitos números), e para a variante em que B pode ter qualquer número mas não infinitos números. Fui cândida vítima da simplicidade que ilude!

Baseado nisso, percebi mais sutilezas no enunciado do problema original, sutilezas que o fizeram ainda mais bonito e elegante aos meus olhos, pois só mostram que o enunciado do problema original foi lapidado com muito, muito carinho, buscando ser perfeito nos sentido de usar o mínimo de palavras que já diz tudo o que precisa ser dito.

Mas comecemos pelo feioso rsrsrs: meu erro (menor) no caso da alternativa ao problema original criada por nós, em grupo, foi simples.

Tomemos a variante maximalista da alternativa criada em grupo como exemplo: nessa variante, considerando somente a primeira linha do enunciado ( “Duas pessoas (A e B) recebem números positivos consecutivos”) B pode receber qualquer número inteiro positivo. Portanto, pode receber infinitos números. Iludido pelo infinito, achei que a "solução" dessa variante só poderia ser:

Segunda fala de A: "Agora, já sei [o seu número]!".

B perguntaria: "Ah, é? E qual é o meu número?".

A resposta de A: "É qualquer número maior que 2!".

Mas essa resposta de A não é a única possível!

Pois ela só poderia ser “precisa” rsrsrs se A não tivesse olhado o número que ele, A, recebeu! Mas, se A olhou o número que ele, A, recebeu, ele, então, saberá que B só pode ter recebido um de dois números: o imediatamente maior, ou o imediatamente menor que o número que ele próprio, A, recebeu. Pois, pela primeira linha do enunciado, os números de A e B formam, obrigatoriamente, uma dupla de números consecutivos!

Simples, né? Por exemplo: A olha o número que ele, A, recebeu. Suponhamos que tenha recebido o número 233. De cara, ele já sabe que B só pode ter o 232 ou o 234!

De qualquer maneira, esse meu erro não invalida o mérito de minhas conclusões da primeira versão do meu texto: para que o problema faça sentido, A sempre precisa saber, ao fim e ao cabo, o número que B efetivamente recebeu. Aliás, perceber esse meu erro só reforça o fato de que, para o problema fazer sentido, A sempre precisará saber, ao fim e ao cabo, qual número B efetivamente recebeu, pois, como acabamos de ver, se fosse para dar uma resposta que aceitasse dois possíveis números com B, o problema só precisaria de duas linhas: a primeira (“Duas pessoas (A e B) recebem números positivos consecutivos”) e a pergunta (Nesse caso, no entanto, a pergunta não poderia ser a do enunciado original "Qual é o número da pessoa B?". Pois, obrigatoriamente, considerando, pelo menos, a concordância de número – obrigatória - da língua portuguesa, teria que perguntar "Quais os possíveis números que B pode ter recebido?")!

Como eu já escrevi mais acima, isso me levou a perceber mais sutilezas no enunciado do problema original.

Lembremos a íntegra do problema original:

Na primeira versão do meu texto, eu já havia pontuado que é o conjunto do enunciado que não deixa dúvida sobre A e B terem recebido, cada um, um único número.

Eu ainda não tinha percebido, no entanto, que a primeira fala de A e a única fala de B têm uma sutileza se tomadas isoladas do restante do enunciado.

“A: ‘Não sei o teu número.’”. Essa fala de A também seria verdadeira se ele não pudesse olhar o número que recebeu! E ainda não há, até aquele ponto do enunciado, nada que diga que ele poderia/deveria ter olhado!

“B: ‘Também não sei o teu.’”. Mesma coisa: essa fala de B também seria verdadeira se ele não pudesse olhar o número que recebeu! E ainda não há, até aquele ponto do enunciado, nada que diga que ele poderia/deveria ter olhado!

Será que A poderia sempre saber qual número B efetivamente recebeu se nunca olhasse o número que ele, A, efetivamente recebeu?

Na versão original do problema, a reposta, salvo melhor juízo, parece ser SIM!!!!

Duvida?

A não olha o número que ele mesmo, A, recebeu. Porém, e isso é muito, muito importante (e extremamente sutil!!), basta que B acredite que A teria olhado o número que ele, A, efetivamente recebeu! Além disso, A, tal qual B e todos nós, pode ver as alternativas para a resposta à pergunta do problema (“Qual é o número da pessoa B?”): 2, 3, 4, 5. Ou seja, A sabe que B não pode ter recebido um número maior que 5. Como B também pode ver as alternativas, e ver que A também pode vê-las, ele, B, sabe, portanto, que A está ciente dessa restrição em relação aos possíveis números que B pode receber.

E, importante, A vê que B olhou o número que ele, B, efetivamente recebeu. (A, claro, ouve a única fala de B - “Também não sei o teu.” - mas isso fica explícito pela segunda fala de A - “Agora, já sei!” -, certo? Assim como B também ouviu a primeira fala de A, mas isso está explícito pelo termo "também" da única fala de B - “Também não sei o teu.”).

Agora, A não precisa olhar o número que ele, A, efetivamente recebeu, para saber o número que B efetivamente recebeu!

Vejamos:

Se B visse que ele, B, teria recebido um 2: nesse caso, para B, A só poderia ter recebido o 3, pois, lembre-se, B acredita que A teria olhado o número que ele, A, efetivamente recebeu! E se A tivesse recebido um 1, e tivesse visto que o recebeu, A não poderia ter dito "Não sei o teu número.", pois saberia que B teria recebido o 2! Portanto, se B estivesse olhando para um 2, ele, B, não poderia dizer sua única fala (“Também não sei o teu.”)!

Se B visse que ele, B, teria recebido um 5: nesse caso, para B, A só poderia ter recebido o 4, pois, lembre-se, B acredita que A teria olhado o número que ele, A, efetivamente recebeu! E se A tivesse recebido um 6, e tivesse visto que o recebeu, A não poderia ter dito "Não sei o teu número.", pois saberia que B teria recebido o 5! Portanto, se B estivesse olhando para um 5, ele, B, não poderia dizer sua única fala (“Também não sei o teu.”)!!

Se B visse que ele, B, teria recebido um 4: nesse caso, para B, A só poderia ter recebido o 3, pois, lembre-se, B acredita que A teria olhado o número que ele, A, efetivamente recebeu! E se A tivesse recebido um 5, e tivesse visto que o recebeu, A não poderia ter dito " Não sei o teu número.", pois saberia que B teria recebido o 4! Portanto, se B estivesse olhando para um 4, ele, B, não poderia dizer sua única fala (“Também não sei o teu.”)!

Se B visse que ele, B, recebeu um 3: somente nesse caso B pode dizer sua segunda fala, pois não há como ele descartar um 4 ou um 2 com A.

Ou seja, o resultado seria igual, tivesse ou não A visto suas cartas antes de proferir sua primeira fala para B (“Não sei o teu número”). Portanto, nesse ponto do enunciado, não há necessidade de se dizer que A teria visto seu número antes de sua primeira fala. Mais um ponto para o objetivo de se usar o mínimo de palavras que diz tudo o que precisa ser dito!

(Todos os comentários a seguir são do Jayme – versão 1 – 9/3/2025)

Até onde meu olhar alcança, esse é um “probleminha” fabuloso, cujo enunciado foi lapidado com muito carinho, e por muito tempo, tentando-se fazê-lo perfeito no sentido de usar o mínimo de palavras que diria tudo o que precisa ser dito!

À primeira vista, no entanto, ele parece, é verdade, enunciar um problema impossível. Parecem faltar dados, ou palavras explicando melhor alguma coisa, ou os dois.

Como “traduzir” ideias matemáticas e de lógica pura para a linguagem corrente (no nosso caso, a língua portuguesa) já é um desafio em si mesmo, é totalmente válido e legítimo que, pelo menos em princípio, nos perguntemos: “Será que o formulador do problema não teria cometido algum erro ao traduzir suas ideias de lógica para o português corrente?”.

Vejamos algumas das minhas primeiras impressões sobre isso e algumas já bem distantes das primeiras, antes de partirmos para a solução do desafio.

1) “Duas pessoas (A e B) recebem números positivos consecutivos.”

a. Minha primeiríssima impressão foi de que cada uma das pessoas teria recebido números consecutivos (mais de um número, portanto, para cada pessoa).

i. Mas todo o restante do problema deixa bem claro que cada pessoa recebeu um único número!

ii. Assim como deixa bem claro que o problema exige uma única solução (do contrário, para que não deixasse de dizer tudo o que é necessário para a total compreensão do problema, teria que perguntar algo do tipo “qual ou quais números B poderia ter recebido?” Mas perguntou “Qual é o número da pessoa B?”). A pergunta quer saber, portanto, qual número B efetivamente recebeu (e não quais números B poderia ter recebido). O problema só pode fazer sentido, então, se, ao fim e ao cabo, A sempre puder saber esse número (para que possa ser satisfeita a segunda fala de A: “Agora, já sei!”).

2) Ao mostrar as alternativas, como em um teste de concurso ou em primeira fase de vestibulares, achei, em um primeiro, mas longo, momento, que o problema introduzia uma “pegadinha”, já que somente naquelas alternativas os valores de B se mostravam restritos (ou seja, tal restrição – que, até então, me parecia fundamental para que o problema tivesse uma solução - não estava posta no enunciado). Assim, imaginei que as alternativas fossem parte fundamental do problema e que, sem elas, o problema seria insolúvel. Digo “pegadinha” porque não se espera que as alternativas para a resposta sejam parte essencial do enunciado. Cheguei, inclusive, a propor uma versão sem as alternativas, ou seja, sem a “pegadinha” (que pode ser vista ao final do texto, como um anexo).

a. Depois de ler ideias muito interessantes, sobre o problema, no Grupo de WhatsApp do Clube de Xadrez de Matão, especialmente através do sempre incansável pensador e poliatleta dos esportes da mente Filipe Guerra, passei a achar que as alternativas não seriam parte essencial do problema (e que na verdade, só o tornariam menos difícil, assim como a versão sem “pegadinha” que propus!).

b. Agora, no entanto, tendo a achar que minha primeira impressão (as alternativas são, sim, parte essencial do enunciado e, portanto, “pegadinha”) é correta. E minha explicação para isso está no próximo tópico. Relevante dizer, penso, que para mim, agora, o termo “pegadinha”, no caso em pauta, está muito relativizado: penso tratar-se de uma pegadinha “do bem”, completamente coerente com o contexto da tentativa de formular um enunciado com o mínimo de palavras que mostre tudo o que precisa ser mostrado para que o problema faça a tradução perfeita da ideia lógica para o português corrente.

3) O problema original me parece acabar caindo em um paradoxo (falo um pouquinho mais sobre isso logo adiante): a segunda fala de A só seria possível se ele soubesse algo que ainda não está no enunciado. Ele precisaria saber que os números que B poderia ter recebido não poderiam ser maiores do que 5 (isso é parte da solução, como veremos). Mas essa informação só está disponível nas alternativas para a resposta! Ou seja: se A não soubesse que B estaria restrito a números menores ou igual a 5, ele não poderia ter certeza sobre o número que B efetivamente recebeu, e a última fala do diálogo seria, portanto, impossível! E se ele sabe que B está restrito a isso, essa é uma informação que não está no enunciado, mas somente nas alternativas para a resposta. E se as alternativas para a resposta são essenciais para a solução do problema, ele, problema, tem, sim, uma “pegadinha” (“do bem”!), CQD!

a. Se o paradoxo realmente existe no problema original, já é algo que está além de meus modestos conhecimentos em lógica e em matemática. E, em realmente existindo o paradoxo, se este seria um erro que comprometeria, do ponto de vista rigoroso da lógica formal, a “tradução” da ideia lógica para o português corrente, menos ainda está ao meu alcance dar um parecer. Tudo o que posso dizer é que a versão que formulei (está no final, como um anexo) tentando eliminar a “pegadinha” das alternativas, não tem aquele (suposto) paradoxo do problema original.

b. Como ficará muito claro na solução, mostrada a seguir, o problema original postado pelo professor, enxadrista e artista Aranha, tem uma única resposta para a pergunta do desafio (“Qual é o número da pessoa B?”). Portanto, sobre esse aspecto o problema original não tem qualquer erro fundamental que o comprometa, muito menos que o invalide.

c. No decorrer do rico debate no grupo de WhatsApp do Clube de Xadrez de Matão, acabamos criando uma versão ao problema original, que manteria todo o enunciado mas não as alternativas para a resposta (que seriam simplesmente extintas). Esse se mostra um problema mais complexo e bem mais trabalhoso que o original, como ficará claro nas (tentativas de) “soluções” dele. E ficará ainda mais claro, também, que, simplesmente eliminar as alternativas (e não ajustar o enunciado adequadamente) cria um problema diferente do original (e apenas uma das variantes possíveis da versão sem as alternativas atende a tudo o que é exigido pelo problema original).

VAMOS À SOLUÇÃO DO PROBLEMA ORIGINAL DO PROFESSOR ARANHA (que inclui a presença das alternativas para a resposta)

Lembremos a íntegra do problema original:

A PRIMEIRA FALA DE A:

- Quais números A não poderia ter após a sua primeira fala (“Eu não sei o número que você tem”)?

-- Não poderia ter o 1, pois, se o tivesse, saberia que B só poderia ter o 2

-- Não poderia ter o 6, pois, se o tivesse, saberia que B só poderia ter o 5 (pelas alternativas, B não pode ter o 7. Simples assim)

-- Não poderia ter o 5, pois, se o tivesse, saberia que B só poderia ter o 4 (as alternativas limitam B a 2,3,4 ou 5. Portanto, B nunca pode ter o 6. Assim, se A tem o 5, e B, forçosamente, teria que ter um número contíguo a 5, este só poderia ser o 4, já que, pelas alternativas, B não pode ter o 6. Simples assim)

- Quais números A poderia ter após a sua primeira fala?

-- Poderia ter o 2, já que, pelas alternativas, B poderia ter o 1 ou o 3.

-- Poderia ter o 3, já que, pelas alternativas, B poderia ter o 2 ou o 4.

-- Poderia ter o 4, já que, pelas alternativas, B poderia ter o 3 ou o 5.

A FALA DE B

Pela primeira fala de A, B sabe que A não pode ter o 1, o 5 ou o 6.

- Quais números B não poderia ter após a sua (única) fala (“Eu também não sei o número que você tem”)?

-- Não poderia ter o 1, pois, se o tivesse, saberia que A só poderia ter o 2.

-- Não poderia ter o 2, pois, se o tivesse, saberia que A só poderia ter o 3 (A não poderia ter o 1, como já mostrado na primeira fala de A).

-- Não poderia ter o 4, pois, se o tivesse, A teria que ter o 3 (o 5, A não pode ter, como já mostrado na primeira fala de A).

-- Não poderia ter o 5, pois, se o tivesse, A só poderia ter o 4 (A não poderia ter o 6, como já mostrado na primeira fala de A).

Portanto, B recebeu, efetivamente, o 3, já que, pelas alternativas, está restrito a 2,3,4 ou 5. O 3 é o único número, com B, que respeita todo o exigido pelo enunciado, dadas as alternativas para a resposta.

Portanto, o problema original, embora esteja longe de ser trivial, não é difícil, embora meio trabalhoso (e muito bonito! Tem a beleza da simplicidade que ilude!).

No rico debate no seleto grupo de WhatsApp do Clube de Xadrez de Matão, nós acabamos criando uma versão mais complexa do problema: e se tudo permanecesse igual no enunciado do problema original, mas ele terminasse na pergunta “Qual o número da pessoa B?”, sem mostrar as alternativas?

Nessa versão, o problema tem mais de uma variante, e acaba nos trazendo uma tarefa adicional: encontrar a(s) variante(s) que justifique(m) a existência da nossa versão, mantendo (ou aumentando!) a beleza e a elegância do original (o original inclui as alternativas para a resposta, lembra disso, né?).

Comecemos por uma variante maximalista da nossa versão: B poderia ter qualquer número positivo. As duas falas iniciais seguiriam mais verdadeiras do que nunca: podendo ter infinitos números, nem A, nem B, poderiam saber o número do outro. Mas a última fala de A (“Agora, eu sei o seu número!”) ainda poderia ser verdadeira? Até poderia, mas, se e, somente se, quando instado a dizer que número B teria, efetivamente recebido, A respondesse: “Um número maior que 2!”. (Isso foi um erro meu, apontado no adendo de 12/3/2025)

Ora, mesmo que fizéssemos um esforço enorme para justificar que a pergunta do enunciado “Qual é o número da pessoa B?” aceitaria uma resposta que indicasse infinitos números, tal solução seria tão deselegante, quase ridícula, que não justificaria a existência de nossa versão como um problema.

E será que existiria uma variante minimalista de nossa versão? Por exemplo, B poderia estar restrito a receber somente o número 1? Não, né, pois, nesse caso, A teria que receber o 2 e, então, sempre saberia o número de B e a primeira fala de A seria impossível.

E se B pudesse receber somente os números 1 ou 2? Também não daria certo, pois, se A tivesse o 3, saberia que B só poderia ter o 2. Se A tivesse o 2, saberia que B só poderia ter o 1. E, se A tivesse o 1, saberia que B teria o 2.

E se B pudesse receber somente os números 1, 2 ou 3? Se A recebesse o 4, saberia que B teria o 3. Se A recebesse o 1, saberia que B recebeu o 2. Se A recebesse o 3, saberia que B recebeu o 2. Portanto, para não saber, em sua primeira fala, qual o número de B, A só poderia ter o 2. Tendo, com certeza o 2, B saberia, então, o número de A quando A dissesse sua primeira fala. Sabendo do número de A, B não poderia dizer sua única fala (“Eu também não sei o número que você tem”).

E se B pudesse receber os números 1, 2, 3 ou 4? De novo, se A tivesse o 1, saberia que B teria o 2. Se A tivesse o 4, saberia que B teria o 3. Se A tivesse um 5, saberia que B teria o 4. A poderia ter, então, em principio, para justificar a sua primeira fala, o 2 ou o 3. Se B estivesse olhando para um 4, saberia que A teria que ter um 3 (o 5 está descartado, como mostrado logo acima). Se B tivesse olhando para um 1, ele saberia que A teria o 2, e, então, não poderia dizer que não sabe o número de A. Se B está olhando para um 2, ele saberia que A tem um 3 (A ter um 1 já está descartado, certo?). Se B está olhando para um 3, A só poderia ter um 2 (o 4 já foi descartado, certo?).

Portanto, variantes mais simples que a proposta pelo problema original não podem justificar o diálogo e, portanto, não existem, como acabamos de provar.

Se B puder receber os números 1, 2, 3, 4 ou 5, estaríamos exatamente no problema original.

E se B pudesse receber 1, 2, 3, 4, 5 ou 6? Ou seja, uma variante só um pouquinho ampliada em relação ao problema original? Vejamos com detalhes.

Se A estiver olhando para um 7, ele não pode dizer sua primeira fala, pois saberia que B tem um 6.

Se A estiver olhando para um 1, ele saberia que B tem um 2.

Se A estiver olhando para um 6, ele saberia que B só pode ter o 5.

Em princípio, A poderia ter, então, 2, 3, 4 ou 5.

Se B está olhando para um 1, ele saberia que A só poderia ter um 2.

Se B estiver olhando para um 2, ele saberia que A tem um 3 (o 1 com A já foi descartado logo aqui em cima, certo?).

Se B estiver olhando para um 6, ele saberá que A tem um 5 (o 7 com A já foi descartado).

Se B estiver olhando para um 5, ele saberá que A tem um 4 (o 6 já foi descartado, certo?).

Se B estiver olhando para um 4, A pode ter 3 ou 5.

Se B estiver olhando para um 3, A pode ter 2 ou 4.

Essas quatro alternativas válidas, portanto, mostram que A não poderia dizer, em sua segunda fala “Agora eu sei o seu número!”, a menos que consideremos válida, quando perguntado “Qual é o número da pessoa B?”, a resposta “O número de B é 3 ou 4”.

De novo, mesmo que fizéssemos um esforço enorme para justificar que a exata pergunta do enunciado “Qual é o número da pessoa B?” aceitaria uma resposta que indicasse dois possíveis números, tal solução seria tão deselegante que não justificaria a existência de nossa versão como um problema. Principalmente se notarmos que, à medida que aumentamos o range de números que B pode receber, cresce, também, os possíveis números que B teria ao final da solução da variante. Por exemplo, aumentando mais alguns números que B, em princípio, poderia receber, podemos chegar a algo assim:

A – “Agora eu já sei seu número!”

B – “Ah é? E qual é?”

A – “É o 3, o 4, o 5, o 6, o 7, o 8, o 9, o 10, o 11, o 12, o 13 ou o 14!” (Isso foi um erro meu, apontado no adendo de 12/3/2025)

Você acharia bonito isso?? rsrsrsrs

Tudo isso reforça a tese de que as alternativas do problema original são fundamentais para que seu enunciado seja plenamente coerente e válido.

ANEXO

Como já comentei algumas vezes no texto, eu elaborei uma versão do problema original que o reproduziria plenamente, mas sem a necessidade das alternativas. Como se verá, no entanto, essa minha versão faz ajustes críticos no enunciado.

"B recebe um, e apenas 1, dentre os seguintes números: 1, 2, 3, 4, 5. A sabe dessa restrição.

A recebe um e somente um número inteiro positivo de forma a sempre formar um par de números consecutivos com o recebido por B. Tanto A quanto B sabem que seus números são consecutivos entre si".

E todo o resto do enunciado seria igual ao do problema original, mas, na minha versão, não haveria as alternativas para a resposta, pois as informações críticas que aquelas alternativas trazem ao problema original já estão no enunciado dessa minha versão.

Salvo melhor juízo, essa versão é, no que importa, idêntica ao problema original postado pelo professor Aranha e, claro, leva à mesma solução.

Ela tem as vantagens, a meu ver, de não incluir o que chamei de “pegadinha”, e de não ter qualquer suspeita de conter o suposto paradoxo que citei aqui.